exercice vecteur aléatoire a densité
$$h(X)=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\ln f(x)dx.$$, Exercices de dénombrement - probabilités - statistiques, Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). Pour la bijection réciproque, il faut résoudre l'équation. Comme $L_1$ est positif, on en déduit donc que $L_1=2\sqrt{1-X^2}$. E(X)&=&\int_{-\infty}^0 xe^xdx\\
Feuille d’exercices 1. Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb R$, déterminer lesquelles sont la densité d'une variable aléatoire à densité. \begin{eqnarray*}
$$Y\leq t\iff -\sqrt t\leq X\leq \sqrt t\iff -\sqrt t\leq X\leq 0$$
Les moments
On en déduit : si $0\leq x\leq 1$,
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par :
La vérification est immédiate. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer. Un tribunal traute d'a aires de meurtres. \textbf{3. $$\int_1^{+\infty}f(x)dx=\left[\frac{-2a}{\sqrt x}\right]_1^{+\infty}=2a.$$
Il en est de même si l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{DA}$. D'après la première question, la longueur de la corde correspondante est $\sqrt{1-x^2}$ et on a $0\le x\le 1$. En effet,
Puisque $f_5$ est paire, $E(X_5)=0$. On a donc
On a donc
Définition. On dit que $X$ suit une loi log-normale de paramètres $(m,\sigma^2)$ si $Y=\ln X$ suit une loi normale
probabilité que appartienne à un sous-ensemble Unformatted text preview: ENSP, GI 4 2019-2020 Apprentissage statistique Rappels : Probabilité et variable aléatoire Fiche de TD n 1.Exercice 1. Maintenant, pour $\lambda,t\geq 0$, $1-\exp(-\lambda t)\in [0,1]$, et donc, utilisant la fonction de répartition d'une loi uniforme,
$$F_Y(x)=\frac{1}{2}3^{\frac{\ln x}{\ln 3}}=\frac{x}{2}.$$
Elle est nulle à gauche de 0, égale à 1 à droite de 1, et si $x\in[0,1]$, on a
\end{eqnarray*}
les Boréliens sont une classe de sous-ensembles de , fonction qui n'est pas intégrable. 1. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Quelle doit être la capacité du réservoir d'essence
De plus, la fonction $f$ est intégrable. Notons $x$ l'absisse du point $M$. En conclusion, on a
$$E[L_1]=2\times E\left[\sqrt{1-X^2}\right]=2\times\frac12\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi2\approx 1,57\ .$$, Par la formule de transfert,
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx$ converge et vaut 1. $$f_Y(x)=F_Y'(x)=\frac{1}{2x^2}.$$
Montrer que l'intégrale définissant l'espérance est divergente au voisinage de $+\infty$. On note $\varphi$ la densité de $\mathcal N(0,\sigma^2)$. $$f(x)=\left\{
On fixe donc $Y$ une variable aléatoire centrée, de densité $f$ et de variance $\sigma^2$,
&\quad\quad&
1-x&\textrm{ si }x\in [0,1]\\
Notons $X_1$ une variable aléatoire de densité $f_1$. est une variable aléatoire telle qu’il existe une densité . Puisque $f$ est continue et positive, pour que $f$ soit une densité, il faut et il suffit que $\int_{\mathbb R}f(x)dx=1$. Pour l'espérance, on pourra étudier la parité. Les deux méthodes proposées nous indiquent seulement que le résultat dépend évidemment de la modélisation utilisée. On note $F$ sa fonction de répartition (qu'on ne demande pas de calculer). † Une variable aléatoire réelle X est dite gaussiennes'il existe („; ... Un vecteur aléatoire X à valeurs dans Rd est dit gaussien si toute combinaison linéaire de ses ... X admet une densité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rd si et seulement si det(§) 6= 0. \end{array}\right.$$. }f_5(x)=\left\{
1) Déterminer la loi de U= X+ Y+ Z. La fonction de répartition $F_Y$ est dérivable sauf en $1$. \end{eqnarray*}. de variables aléatoires gaussiennes, c'est-à-dire suivant des lois On en déduit que $F_X(x)=0$ si $x\leq 0$. $$\begin{array}{lll}
$$\varphi(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}.$$
\frac{1}{|x|^3}&\textrm{ si }|x|>1\\
Calculer la longueur $L_1$ de la corde en fonction de $X$. En déduire un algorithme permettant de simuler la loi exponentielle de paramètre $5$. Calculer la longueur $L_2$ de la corde en fonction de $T$. Si $X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante (si elle existe)
Pour l'instant il suffira de savoir que On a bien $\int_0^{\pi/2}\cos(x)=\sin(\pi/2)-\sin(0)=1$ : $f_1$ définit bien une densité de probabilité. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} réelle est dite gaussienne si sa loi est gaussienne. {\bf Conclusion.} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} On en déduit que
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme $\mathcal U([0,1])$. $X$ admet-elle une espérance? Soit $t\in\mathbb R$. Pour $t<0$, $g(t)=G'(t)=0$. \end{eqnarray*}. Cet exercice est ´el ementaire. D'où le résultat. &=&P\left(X\leq \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)\\
Ceci est équivalent Ã
Soit $\varphi$ la fonction de $\mtr$ dans $\mtr$ définie par :
pour que la probabilité d'épuiser ce réservoir soit inférieure à $10^{-5}$? On note $F_X$ la fonction de répartition de $X$. Donc $T$ suit une loi $\mathcal E(\lambda)$. $$xf(x)\sim_{+\infty}\frac{1}{\pi x}$$
$$F(x)=\frac{1}{2}\ln 3\int_{-\infty}^x e^{t\ln 3}dt=\frac{3^x}{2}.$$
$$F_X(t)=\int_{-\infty}^t \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx=\frac 1\pi\left[\arctan(x)\right]_{-\infty}^t=\frac1\pi\arctan(t)+\frac 12.$$
\end{array}\right.\\
Déterminer $a$ pour que $f$ soit une densité de probabilité. La variable aléatoire $X$ admet une espérance si la fonction $x\mapsto xf(x)$ est intégrable. 2. Densité de la loi de Z dt: La ariablev aléatoire Z= XY a donc une loi absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, de densité f Z(t) = ( logt)1 [0;1](t). C'est des petits calculs d'intégrale. Attention à la position par rapport à $1$. A la lumière de ces deux méthodes, quel commentaire peut-on faire concernant l'espérance de la longueur d'une corde aléatoire ? $X$ est à valeurs dans $]-\infty,0]$, donc $F_X(t)=1$ si $t\geq 0$. En particulier, pour $x>1$, la densité de $Y$ est :
P(Y\leq x)&=&P(\varphi(X)\leq x)=P(X\leq\varphi^{-1}(x))\\
Loid’uncouplealéatoire. Si $t\in [-1,0]$, on a
On appelle $X$ l'abscisse de ce milieu et on fait l'hypothèse que $X$ suit une loi uniforme sur $[-1,1]$. La première intégrale se traite à l'aide du résultat de la première question. Enfin, si $t\geq 1$, on a
$$\int_0^1 f(x)dx=1.$$
Son unique objectif´ est de vous faire jouer entre differentes fac¸ons de sp´ ecifier les mod´ eles statistiques. $f$ doit être une densité de probabilité, et donc on doit avoir
Nous appliquons maintenant ces résultats au cas particulier important Pour la fonction de répartition, séparer les cas $x<0$ et $x\geq 0$. $$\varphi^{-1}(y)=\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right).$$, $Y$ prend ses valeurs dans $]-1,1[$, et, pour tout $x$ de $]-1,1[$ :
&=&\frac{e^t}{(1+e^t-1)^2}\\
Le réservoir doit contenir au moins 900 litres. \begin{eqnarray*}
On a, pour tout $n\geq 1$, $x^ne^{-|x|}=o(x^{-2})$ en $\pm \infty$, ce qui prouve la convergence de l'intégrale. Démontrer que $X$ admet des moments de tout ordre. C'est-à-dire que la probabilité que appartienne à un sous-ensemble devrait pouvoir s'écrire comme une intégrale multiple de sur . \begin{array}{ll}
Déterminer la loi du couple (Z,T). Réciproquement, si g est presque partout égale à une densité de probabilité de alors g est une densité de probabilité de Ainsi une variable aléatoire à densité possède-t-elle toujours une infinité de densités de probabilité : par exemple, en perturbant l'une des densités de de manière arbitraire en un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini de points, on obtient encore une densité … $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-a\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=a\pi.$$
\begin{eqnarray*}
Considérons ensuite une variable aléatoire $U$, indépendante de $\varepsilon$ qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$. Ainsi,
{\bf Première méthode.} devrait pouvoir s'écrire comme une intégrale multiple de sur . suivante, permet d'étendre la relation (2.2.7) à des De même, au voisinage de $+\infty$,
Tout le problème est de savoir ce que veut dire l'expression ``tirer une corde au hasard''. Il y a derrière cette question un problème de modélisation. Mais
Remarquons d'abord que $Y$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$. Par parité de cette fonction, on a
On a donc
alors X est appelée v.a.r. Voici une rédaction plus formelle. soit inférieure à $10^{-5}$. Attention, les composantes d’un vecteur gaussien sont gaussiennes mais la réciproque est fausse. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Le vecteur aléatoire Z a alors pour densité f. Les questions suivantes permettent d’établir la validité de la méthode du rejet générale. On considère que la corde aléatoire est déterminée par le choix d'une de ses extrémités $M$ sur le demi-cercle $\overset{\frown}{ADB}$. A la n de chaque procès, deux jurés se prononcent. &=&-1. $$\frac{|x|e^x}{(e^x+1)^2}\sim_{+\infty}\frac{|x|e^x}{e^{2x}}=|x|e^{-x}$$
Voir plus d'idées sur le thème Logo dentaire, Dentaire, Carte de visite. Il suffit que $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$. $$f_X(x)=\frac{1}{x}\phi'(\ln x)\mathbf 1_{[0,+\infty[}(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ln^2 x}{2}}\mathbf 1_{[0,+\infty[}(x).$$. Si le tirage amène face, la corde choisie a sa longueur qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$, donc sa longueur moyenne est 1. $Y$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$, et on a :
Puisque $f$ est nulle sur $]-\infty,1[$, on a $F_X(t)=0$ si $t\leq 1$. Pour $t>1$, on a
Si le tirage amène pile, la corde choisie a sa longueur qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$, donc sa longueur moyenne est 1. $f(x)=e^x$ si $x<0$ et $0$ sinon. Démontrer que
$Y$ n'admet pas d'espérance. $$f_3(-x)=\frac{\exp(-x)}{\big(\exp(-x)+1\big)^2}=\frac{\exp(-x)}{\exp(-2x)\big(1+\exp(x)\big)^2}=\frac{\exp(x)}{\big(\exp(x)+1\big)^2}.$$
Si $x\geq 0$, on a :
La masse volumique d’une substance correspond à la masse de cette substance dans une unité de volume. Donc $X$ n'admet pas d'espérance. Une variable aléatoire discrète part de l univers et va vers les réels et prend un nb fini de valeurs. On doit donc vérifier que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$ converge et est égal à 1 pour déterminer s'il s'agit d'une densité. Calculez la densit´e de X +Y. \end{array}$$. Exercice 3 Soient X une variable aléatoire à valeurs dans une partie de ¥ et A un événement de l'espace probabilisé considéré, tel que p(A)0„ . }f_3(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\ x\in\mathbb R
&=&e^{-t}. $$\int_{-\infty}^ {-1}\frac{-1}{x^3}dx=\frac 12.$$
On s'intéresse à la longueur d'une corde de ce cercle perpendiculaire à la droite $(AB)$ lorsque cette corde est choisie "au hasard". a.3^{-x}&\textrm{si }x>0\\
Montrer que $\varphi$ réalise une bijection de $\mtr$ sur $]-1,1[$, et déterminer sa bijection réciproque. $$Y=\varphi(X)=\frac{e^X-1}{e^X+1}.$$
1+x&\textrm{ si }x\in [-1,0]\\
On reconnait la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Par imparité de la fonction $x\mapsto x^n e^{-|x|}$ si $n$ est impair, les moments d'ordre impair sont nuls. Supposons maintenant $t\geq 0$. Déterminer la densité de la loi de Z. Par définition, une variable à densité . Z et T sont-elles indépendantes? Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^2}$. &=&P\big(X\leq 1-\exp(-\lambda t)\big),
0&\textrm{ sinon}
La densité conjointe des variables gaussiennes indépendantes est donnée {\bf Épilogue : une troisième méthode.}. $$F_X(x)=\int_0^xf(t)dt=1-(1-x)^5.$$
toutes leurs réunions et intersections. vectorielle ou vecteur aléatoire réel. On supposera dans la suite que la fonction
Exercice 4 Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = a π(a2 +x2 ) avec a > 0. Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres,
Calculer la dérivée de $\varphi$, étudier son signe, et appliquer un théorème du cours. La loi de X est appelée loi de Cauchy de paramètre a. Véri er que f est bien une densité. $$Y\leq t\iff X^2\leq t.$$
Ce n'est pas une densité de probabilité. &=&\frac{\ln(2\pi\sigma^2)}2+\frac12. Montrer que $X$ admet une espérance $E(X)$ et la calculer. Les calculer. Montrer que $f$ est une densité de probabilité. à un tel vecteur aléatoire. Calculer la fonction de répartition de $T$. En déduire que $Y$ admet une densité que l'on calculera. Donner une expression de la densité pour $x>1$. La fonction $f_6$ n'est pas intégrable sur $\mathbb R$. Déterminer le réel $a$ pour que $f$ soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire $X$. $x\mapsto \frac{1}{1+e^{-x}}$ est une primitive de $f$. Alors
1 Exercices Exercice 1 (Modele de translation et d’` ´echelle) . 1. &=&P\left(\ln(1-X)\geq -\lambda t\right)\\
AlorsP(Z ∈H) = 0. $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx\ .$$. Pour $x>0$, on a
Elle est donc intégrable, et $X$ admet bien une espérance. $E(X^{2p})=I_p=(2p)!$. En effet, au voisinage de $+\infty$, on a
La fonction $f$ est positive et continue par morceaux. Par la formule de transfert, l'espérance de $L_1$ vaut
Soit H un sous-espace vectoriel de Rn, tel que dim(H)
1$, on a :
&=&\frac{x+1}{2}. Ceci entraîne (par un résultat du cours, ou tout simplement en effectuant le changement de variables $u=-x$ dans l'intégrale) que $E(X_3)=0$. On utilise la concavité ou bien on fait une étude de fonctions. &=&\frac{e^t}{2(1+|e^t-1|)^2}+\frac{e^t}{2(1+|1-e^t|)^2}\\
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} $$F_X(t)=\int_1^t\frac{1}{2x\sqrt x}dx=\left[\frac{-1}{\sqrt x}\right]_1^t=1-\frac1{\sqrt t}.$$. $X$ admet-elle une espérance? \end{array}\right. La station est réapprovisionnée chaque lundi à 20h. Déterminer la fonction de répartition de $X$. $$, Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb R$, déterminer lesquelles sont la densité d'une variable aléatoire à densité. Exercice 1 - Densité ou non? &\quad\quad&
$$\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dt$$
Pour $t>0$, par composition,
&=&e^tF'(e^t-1)+e^t F'(1-e^t)\\
Déterminer la fonction de répartition de $Y$. $$P(Y\leq x)=P(3^X\leq x)=P\left(X\leq \frac{\ln x}{\ln 3}\right).$$
$\mathcal N(m,\sigma^2)$. Démontrer que $Y$ est une variable aléatoire à densité, et déterminer la densité de $Y$. DØfinition 1.11 On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X, et l’on note F X, la fonction F X: R ! Montrer que $f$ est une densité de probabilité dâune certaine variable aléatoire, que lâon notera $X$. Si $x\leq 0$, on a :
, l'intégrale. Si les composantes (X 1,...,X d) de X sont des v.a.r. On a $\int_0^x f_6(t)dt=x-\cos(x)+1$. On considère que la corde aléatoire est déterminée par son milieu $H$ qui appartient au diamètre $[AB]$. Calculer une masse volumique. Ainsi, $Y$ admet une densité $g$ égale à $G'$. Soit (Ω,F,P) un espace probabilisé et X : Ω → Rd une application. Ce r´esultat se g´en´eralise bien entendu au cas d’un vecteur al´eatoire X = (X 1,...,X n). normales. L'espérance de $L_3$ vaut donc
Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ ayant $f$ pour densité. Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y$. D'autre part, $|x|f_5(x)=\frac{1}{|x|^2}$ si $|x|\geq 1$, fonction qui est bien intégrable au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$. Soit X une variable aléatoire de densité donnée par f(t) = (1 2 t + 1 2 si 1 t 1, 0 sinon. Exercice Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de densité f qui ne s'annule pas sur un intervalle réel I et admettant une espérance.. Montrer que la fonction g: m ↦ ∫ −∞ m t f(t) dt est bien définie, continue et dérivable sur R et préciser ses variations et limites à l'infini. On va commencer par chercher la fonction de répartition $F_X(x)$ de $X$. En effet, pour $n=2p$, posons $I_p=\int_0^{+\infty}x^{2p}e^{-x}dx$, de sorte
Année 2019/2020 Variables aléatoires réelles, variables à densité : révisions et compléments – 3 1.2 Fonction de répartition Dans toute cette section, X désigne une variable aléatoire réelle. \cos x&\textrm{ si }x\in [0,\pi/2]\\
$$F_X(t)=\int_{-\infty}^t e^xdx=e^t.$$, La fonction $xf$, qui est nulle sur $[0,+\infty[$ et continue sur $\mathbb R$ sauf en zéro, est intégrable au voisinage de $-\infty$ car négligeable devant $1/x^2$ en ce point. Exercices Documents section N suivant I 12 V.2.1 Vecteur aléatoire Exercices : Exercice A.1.9 On considère Rd (d ≥ 1) muni de la base canonique. &=&\frac{\ln(2\pi\sigma^2)}{2}+\frac1{2\sigma^2}E\big((X-E(X))^2\big)\\
$$F_{X_4}(t)=\int_{-1}^0 f_4(x)dx+\int_0^t (1-x)dt=\frac 12+t-\frac{t^2}2.$$
Exercice 3.4 Onconsidèreuneprobabilitésur(R;R) définieparsadensitéh 1 parrapport à la mesure de Lebesgue sur R. Soit Xune variable aléatoire réelle dont la loi admet pour densité h 1. Soit Z ˘(Z1,Z2)0 le vecteur aléatoire défini par Z ˘ µ X X ¯Y ¶ ˘ µ 1 0 1 1 ¶µ X Y ¶. Si $t\leq -1$, on a
En $+\infty$ ou $-\infty$, $f$ est équivalente à $\frac1{x^2}$ qui est une intégrale de Riemann convergente en l'infini. Par composition, la fonction $G$ est dérivable partout sauf (éventuellement) en $0$. $$F_Y(x)=1-\frac{1}{2}3^{-\frac{\ln x}{\ln 3}}=1-\frac{1}{2x}.$$
$$\frac12\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi4\ .$$
$$F_{X_5}(t)=\frac 12+\int_1^t \frac{1}{x^3}dx=1-\frac{1}{2t^2}.$$
On a $$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}dx=\left[\frac{-1}{2x^2}\right]_1^{+\infty}=\frac{1}2.$$
$$E[L_3]=E[U]=\int_0^2u\,\frac{du}2=1\ .$$
Autrement dit, on cherche $x$ le plus petit possible tel que $F_X(x)>1-10^{-5}$. Au vu de la façon dont est tirée au hasard la corde, sa longueur $L_3$ vérifie l'égalité en loi :
Démontrer que
D’après la proposition 1.10 page 9, Z est également un vecteur gaussien, de moyenne nulle (car (X,Y) est de moyenne nulle) et de matrice de covariance ¡Z ˘ … Plutôt que d'utiliser la densité, on va utiliser le théorème de transfert et écrire
On a $\int_0^1 (1-x)dx=\frac 12$ et $\int_{-1}^0 (1+x)dx=\frac 12$. Si $t\geq 0$, on a
La fonction de répartition $F_{X_3}$ de cette variable aléatoire est donnée par
La seconde se calcule, exactement comme à la question 3. }f_6(x)=\sin x+1,\ x\in\mathbb R.
On détermine la densité de $Y$ en dérivant cette fonction de répartition. et pour les mêmes raisons, $\int_0^{+\infty}|x|e^{-x}dx$ converge. La fonction $\varphi$ est définie sur $\mtr$, dérivable, et vérifie $\varphi'(x)=\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}>0$. Ainsi, $f$ est une densité de probabilité si et seulement si $a=\frac{\ln 3}{2}.$. Supposons que pour une fonction \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} d'ordre pair sont calculés par récurrence. $$F(x)=F(0)+\frac{\ln 3}2\int_0^xe^{-t\ln 3}dt=\frac 12-\left(\frac{3^{-x}}{2}-\frac 12\right)=1-\frac{3^{-x}}{2}.$$
Ainsi
Remarquons que les sont évidemment les densités marginales Je bute sur l'expression de la densité d'un vecteur aléatoire.