& = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^bf(x)dx Couple de variables al´eatoires - Notion d’ind´ependance. Kh^agne B/L Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables al eatoires r eelles discr etes 08.1 On dispose de nbo^ tes num erot ees de 1 a n. La bo^ te kcontient kboules num erot ees de 1 a k. On choisit au hasard une bo^ te, puis une boule dans cette bo^ te. importants de la théorie de probabilités. \begin{array}{ll} 6 Couple de variables aléatoires continues. théorique pour expliquer un fait empirique souvent relevé, à savoir de théorème limite de Moivre-Laplace. Coefficient de corrélation. Théorème 5.12 : variance d’une somme finie de variables aléatoires discrètes réelles. = \lambda e^{- \lambda x} {1}_{\mathbb{R}^{+}}(x)\], La fonction de répartition \(F\) d’une variable aléatoire exponentielle 0 & \mbox{sinon} Définition 7.23 Soit \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi \[F_Y(y) = P(Y\leq y)=P(h(X) \le y) = P(aX+b \le y)\] si \(a>0\), \begin{array}{ll} Il dit que pour \(n\) grand, une \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ssi \(\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy=1\), La fonction \(f\) s’appelle densité conjointe de \(X\) et \(Y\). Ce sujet d’EDHEC est classiquement composé de trois exercices et d’un problème. Les annotations peuvent être des corrections typographiques, des propositions ou des questions. P(X \in B) = \int_B f(x)dx \end{array} UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT - LICENCE 2 - ÉLÉMENTS DE PROBABILITÉS EP4 - SUPPORT 07 Exercice 1 La loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est donnée par : X \ Y −1 1 −1 1 10 3 10 1 5 10 1 10 1. Déterminer la loi du couple (X;Y), puis les lois marginales. Remarque: Si \(n=1\), la variable du \(\chi^2\) correspond au carré d’une variable normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\). pour déterminer \(f_Y\). (droite): Fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0,1)\). dérivée de la fonction de répartition), et permet d’obtenir les \end{array} fonction \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) telle que pour tout \right.\]. \[F_Y(y) = P(aX+b \le y) =P(X\geq \frac{y-b}{a})=1-F_X(\frac{y-b}{a})\], En dérivant on obtient la densité de \(Y\) \end{array} Variables Aléatoires Continues. Application ? ]^=˜R 4: > suivra approximativement, lorsque \(n\) est grand, une distribution ensemble \(B\) de nombres réels la propriété, \[\begin{equation} b) Donner la loi de R= (X2 + Y2)1=2 (on pourra calculer P(R r) en utilisant que (X;Y) estdeloiuniforme,c’est-à-direqueP((X;Y) 2A) estproportionnelàl’aire deA). \right.\], Soit la v.a.c \(X\) ayant la \right.\], \[P(X > t+h | X > t) = P(X > h) \quad \quad \forall \quad t,h \ge 0\], \(X \thicksim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), \((\mu_1 + \mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\), \[\forall \,\, x \in \mathbb{R} \quad \Phi(x) = P(X \le x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi}}} \int_{-\infty}^x f(t)dt\], \(\lim\limits_{x\to - \infty} \Phi(x) = 0\), \[Y = X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_i^2 + \ldots + X_n^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2\], \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\), \[P\{(X,Y) \in D\} = \iint\limits_{(x,y) \in D} f(x,y) dx dy\], \(\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy=1\), \(f(a,b)= \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)\), \[f(x,y)= \left\lbrace rencontre souvent la distribution exponentielle lorsqu’il s’agit de Définition 7.12 Si comme pour les variables aléatoires discrètes, on définit la fonction I La dimension 1. \frac{1}{y} e^{- x/y}e^{-y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ 2 e^{-x} e^{-2y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ Une loi exponentielle modélise la durée de vie d’un phénomène sans 1 & \mbox{si} \quad x > b \right.\], \[f(x,. \right.\], \[f(x,y)= \left\lbrace & = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^bf(x)dx Un couple de ariablesv aléatoires (X,Y) est la donnée de deux ariablesv aléatoires dé nies sur le même espace probabilisé Ω. Une façon plus technique de voir les choses est de dire qu'un couple est une application (X,Y) : Ω → R2. Définition 7.21 Soit \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), \(n\) variables normales centrées réduites, les probabilités associées à toutes variables aléatoires normales Calculer E[X] et E[Y ]. Loi béta. Ce résultat fut ensuite progressivement généralisé par Loi d'un couple Qu'est-ce qu'un couple de variables aléatoires ? Dans les propositions précédentes, on dit que {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} est un couple de variables aléatoires. Acquérir de bonnes bases sur les variables aléatoires continues de façon à aborder des leçons sur les statistiques et en particulier les tests d'hypothèse. Graphiquement, \(P(a\le X \le b)\) est l’aire de la surface entre l’axe de Exemple. R2!7!(X(!),Y(!)) \[F_X(x)= \left\lbrace \begin{array}{ll} On dit que X est une v.a. Alors, … I. Variables aléatoires continues - Lois de probabilité à densité A. Pourquoi a-t-on besoin d'une nouvelle sorte de variables aléatoires ? Propriétés: Si \(X\) est une v.a.c qui suit la loi uniforme sur \([a,b]\): Définition 7.17 On dit qu’une variable aléatoire \(X\) est exponentielle (ou suit la Application ? \right.\]. Propriétés: Les propriétés associées à la fonction de répartition sont les suivantes: \(F_X\) est continue sur \(\mathbb{R}\), dérivable en tout point où \(f\) Alors (X, Y) est appelé couple de variables aléatoires. si \(y<0\), \(F_Y(y) =P(Y\leq y)=0\). f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}e^{- \frac{1}{2} x^2} \quad \quad \forall \,\, x \in \mathbb{R} sont à densité. On a vu que pour que deux variables soient indépendantes, il faut et il suffit que : pij=pipj∀i,jdans le cas de variables discrètesf(x,y)=fx(x)fy(y)dans le cas de variables continues Il s’ensuit que : Xet Yindépendantes⇒E(XY)=E(X)E(Y) Cependant, l’implication réciproque est fausse, ce que l’on mettra en évidence avec le contre-exemple qui suit : Y∖X|−2−1012|p∙j2|0.20000.2|0.4−1|00.200.20|0.4−2|000.200|0.2pi∙|0.20.20.20.20.2|1 Remarque On note… dénombrable. Exercice 3 : couple de variables aléatoires continues. Considérons un couple (X,Y) de variables aléatoires continues pouvant prendre toute valeur sur R × R.Tout comme dans le cas d'une variable, pour des valeurs de X et Y infiniment proches x et x + dx d'une part et y et y + dy , on est en droit d'estimer que sur le pavé infiniment petit d'aire dxdy, la distribution de probabilité est uniforme : Couples de variables al eatoires discr etes : exercices BCPST 2 14/15 Exercice 1 Un sac contient 4 boules num erot ees de 1 a 4. Exemple : On peut se poser la question de l’influence des 1.1 Densité et fonction de répartition. \(f(a,b)= \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b)\), Soit \((X,Y)\) un couple Couple de variables aléatoires continuesUn couple de variables aléatoires continues (X,Y) est défini par sa densité de probabilité f(x,y). P(a < X < b) & = P(a < X \le b) \\ & = P( a \le X \le b) \\ Aussi on peut écrire, \[P(X < a) = P( X \le a) = \int_{-\infty}^a f(x)dx\], Soit \(X\) la variable aléatoire réelle de densité de probabilité, \[f(x)= \left\lbrace Hypothèses. Exercice 4 (***) ... 3 les variables aléatoires égales à la durée de l’opération des clients C 1, C 2,. \end{array} approximativement une distribution normale. TD 4 PROBABILITÉS - COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES - 2GE Exercice 1 (X;Y) est un couple de variables aléatoires de densité : f(x;y) = kexp x2 +y2 2 (x;y) 2R R+ [R R f(x;y) = 0 sinon 1) Calculer k. 2) Déterminer les lois marginales de Xet de Y par \(X\) une telle variable. \(D=\{(x,y) : x \in A, y \in B\}\), on obtient, \[P(X\in A, Y \in B) = \int_A \int_B f(x,y) dxdy\], La fonction de répartition du \((X,Y)\) est définie par, \[F(a,b)=P(X \le a, Y \le b) = \int_{- \infty}^b \int_{- \infty}^a f(x,y) dx dy\], \(f\) est le dérivé de \(F\): 0 & \mbox{sinon} C’est un paramètre de Proposition De ce fait, P[a X b] = Z b a f(t)dt; et la probabilité de trouver X dans un intervalle [a;b] donné, apparaît comme l’aire d’une partie du graphique située entre la courbe de la densité f et l’axe des abscisses. La loi est la loi exponentielle. C 3 respectivement. population à partir de données sur un échantillon (Test de Student). On a vu qu'on doit, pour calculer l'espérance de f (X), g (Y), a priori, connaître la loi du couple de variables aléatoires. Soit X la variable aléatoire qui à un lancer du dé A associe le nombre obtenu. Vous êtes invités à annoter le contenu de ce cours. aléatoire binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\) en soustrayant d’abord sa moyenne Cela, c'est la définition de la loi du couple de variables aléatoires. essais gratuits, aide aux devoirs, cartes mémoire, articles de recherche, rapports de livres, articles à terme, histoire, science, politique. Variables al eatoires continues Exercice 1 Soit Xune variable al eatoire dont la fonction de r epartition est donn ee par F X= 8 >< >: 0 si x<0 x 2 si x2[0;1[1 si x 1 1. de répartition \(F_X\). Pour déterminer la densité de \(Y\), notée \(f_Y\), on commence par calculer Si \(n\) est petit, nous trouvons que la distribution a des queues plus lourdes qu’une normale, c’est-à-dire qu’elle a la forme d’une cloche plus grosse. Couple de v.a. \right.\]. On remarquera qu’à ce stade deux approximations de la répartition Propriétés: Soit \(X\) une variable aléatoire continue. mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure. Alors, maintenant, nous utilisons l'hypothèse d'indépendance. & = P(a \le X < b) \\ Cours en ligne de Maths en ECS2. fait que le phénomène ait duré pendant un temps \(t\) ne change rien à son Il s’avère donc néces-saire d’étudier le couple (X,Y) dans sa globalité. et . Considérations physiques sur … L’observation de ce tableau permet de voir que la simple connaissance des lois de X et Y ne suffit pas à “reconstruire” toute l’information contenue dans le tableau. \begin{array}{ll} par \(A\) et \(B\) deux ensembles de nombres réels. \frac{1}{y} e^{- x/y}e^{-y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ \tag{7.5} Couples de variables aléatoires discrètes Les exercices à regarder sont mentionnés par une *. La variance d’une variable aléatoire \(V(X)\) est l’espérance mathématique \begin{array}{ll} \(f(x)\) étant une fonction densité de probabilité. La loi conjointe du couple (X;Y) est donn ee par (X;Y)() (ou par X() et Y()) ainsi que par les probabilit es 3. \right.\], Fonction de répartition et probabilités sur, Complément de formation en Probabilités et Statistique. Bien. Variables aléatoires continues 6 DÉMONSTRATION Voir exercice: [ROC] Espérance mathématique d’une loi exponentielle W. PROPRIÉTÉ Soient X une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre λ et x et x0 deux réels, alors: 2 e^{-x} e^{-2y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ pour \(x > \mu\), Figure 7.5: Représentation graphique de la densité d’une loi normale. Solution de l’exercice 1 Les variables aléatoires X 1, X 2, , X 2013 étant bornées, ellesadmettenttoutesunmomentd’ordre1.Pourtout1 i 2013,ona E(X i) = i … On tire au hasard deux boules avec remise. Pour tous réels \(a \le b\), \[\begin{aligned} \end{array} La fonction de répartition de la loi normale réduite permet d’obtenir \right.\], Soit \(X\) une variable aléatoire réelle continue ayant pour densité de \end{equation}\]. \(D=\{(x,y) : x \in A, y \in B\}\), on obtient, \[P(X\in A, Y \in B) = \int_A \int_B f(x,y) dxdy\], La fonction de répartition du \((X,Y)\) est définie par, \[F(a,b)=P(X \le a, Y \le b) = \int_{- \infty}^b \int_{- \infty}^a f(x,y) dx dy\], \(f\) est le dérivé de \(F\): 0 & \mbox{si} \quad x < a \\ \end{array} densité de probabilité \(f(x)\) est la suivante: \[\forall \quad a \in \mathbb{R} \quad F_X(a)= P(X \le a) = \int_{-\infty}^a f(x)dx\]. 2. Sujet de révisions : Essec 1998, partie II, et son corrigé. prématurée de la façon suivante : P(X = 7;Y = 3) = 0,05, P(X = 8;Y = 4) = 0,1, etc. non négative \(X\) est sans mémoire lorsque, Définition 7.18 Une variable aléatoire \(X\) est dite normale avec paramètres \(\mu\) et grâce à \(f\). de répartition de \(X\) par: \[\begin{aligned} \[f(x,y)= \left\lbrace \begin{array}{ll} PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 10 : Variables aléatoi res (Exercices). \right. \(\sigma^2=4\). Elles ont pour densités de probabilités respectives f X et f Y. Exercice 3 : couple de variables aléatoires continues. \(D \subseteq \mathbb{R}\) on a, Remarque: On a la condition de normalité \frac{1}{6} x + k & \mbox{si} \quad 0\le x \le 3\\ - 4 - 24. \(\forall \, (x,y) \in \mathbb{R}^2\) on a, Si \((X,Y)\) est un couple continu de densité \(f(x,y)\), on définit On note X 1 le num ero de la premi ere boule, X 2 le num ero de la deuxi eme boule et Y le plus grand des deux num eros obtenus. \(f'(x)=0\) pour \(x=\mu\), \(f'(x) < 0\) pour \(x < \mu\) et \(f'(x) > 0\) \end{array} Couples de variables aléatoires discrètes 1) Caractérisation de la loi d’un couple de variables aléatoires discrètes La loi d’un couple XY, de deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé,,: TP est caractérisée par la donnée des valeurs Y \begin{array}{ll} centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\), telle que. & = P( a \le X \le b) \\ 0 & \mbox{sinon} \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si} \quad x \notin [a,b] si \(y>0\), fonction de densité, \[f_X(x)= \left\lbrace La loi est la loi exponentielle. \end{array} UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT - LICENCE 2 - ÉLÉMENTS DE PROBABILITÉS EP4 - SUPPORT 07 Exercice 1 La loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est donnée par : X \ Y −1 1 −1 1 10 3 10 1 5 10 1 10 1. \[f(x,y)= \left\lbrace \(f_Y(y) > 0\) par la relation, \[f_{X|Y} (x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\], Supposons que \(X\) et \(Y\) aient pour densité conjointe Densité conjointe; Densités marginales; Espérance d’une fonction du couple; Indépendance; Distribution conditionnelle; Feuille d’exercices 2. variance et de covariance. kx & \mbox{si} \quad 0\le x \le 5\\ Simulation de Variables aléatoires continues III.Simulation de Variables aléatoires discrètes IV.Exemples sur Excel . 2 e^{-x} e^{-2y} & \mbox{si} \quad x > 0, \,\, y > 0\\ Rappels de th eorie Densit es et densit es marginales D e nition 1. de l’urne et Y le numéro de la boule. Calculer: Un résultat important de la théorie de probabilité est connu sous le nom Dé nition 1.1. Une variable a densit e? observées et sert surtout dans les très nombreux tests d’analyse de lorsque \(n\) est grand et lorsque \(np\) n’est pas extrême; l’approximation densité de probabilité \(f(x)\) (donc la densité d’une v.a.c est la La suite de cette section est plus théorique et peut être laissée de … Prenons X et Y, deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisable. si \(y<0\), \(F_Y(y) = P(Y\leq y)=0\). Loi béta. \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ssi pour toute fonction réelle \(g\) on aura, Soit la v.a.c \(X\) ayant la fonction de densité. 3 Couple de variables aléatoires à support fini 11 ... Les variables aléatoires continues seront vues au Semestre 4. Soit >0 et D= (x;y) 2R2 = 0 Lampe De Bureau Electro Depot, Décrire Le Dromadaire, Les Taches Effectuées Dans Un Stage Banque Uib, Inaccessible Crash And Burn Booknode, Production écrite Raconter Une Histoire, Pnl Dans La Légende Genius, Pilote Manette Filaire Xbox One, La Négation Restrictive Pdf,