$X$ admet-elle une espérance? $$F_X(t)=\int_{-\infty}^t e^xdx=e^t.$$, La fonction $xf$, qui est nulle sur $[0,+\infty[$ et continue sur $\mathbb R$ sauf en zéro, est intégrable au voisinage de $-\infty$ car négligeable devant $1/x^2$ en ce point. le changement dans l'ordre d'intégration étant justifié par le fait que tout est positif. 1+x&\textrm{ si }x\in [-1,0]\\ Démontrer que $Y$ est une variable aléatoire à densité, et déterminer la densité de $Y$. De même, on a Ainsi, $Y$ admet pour densité $f(t)=\frac{1}{2\sqrt t}e^{-\sqrt t}$ si $t\geq 0$, $f(t)=0$ sinon. Montrer que $X$ admet une espérance $E(X)$ et la calculer. Faire le calcul et utiliser les valeurs connues des moments d'une gaussienne. Exercice 3.4 Onconsidèreuneprobabilitésur(R;R) définieparsadensitéh 1 parrapport à la mesure de Lebesgue sur R. Soit Xune variable aléatoire réelle dont la loi admet pour densité h 1. En effet, $$Y\leq t\iff 1+|X|\leq e^t\iff 1-e^t\leq X\leq e^t-1.$$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} Ainsi $$P(Y\leq x)=P(3^X\leq x)=P\left(X\leq \frac{\ln x}{\ln 3}\right).$$ Déterminer la fonction de répartition de $Y$. Soit (Ω,F,P) un espace probabilisé et X : Ω → Rd une application. \end{eqnarray*} Démontrer que $X$ admet des moments de tout ordre. Il en est de même si l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{DA}$. gaussiennes. Le seul problème est en $+\infty$ et on sait qu'on a une intégrale de Riemann convergente. C'est des petits calculs d'intégrale. Déterminer le réel $a$ pour que $f$ soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire $X$. En déduire un algorithme permettant de simuler la loi exponentielle de paramètre $5$. {\bf Épilogue : une troisième méthode.}. DØfinition 1.11 On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X, et l’on note F X, la fonction F X: R ! D'autre part, $|x|f_5(x)=\frac{1}{|x|^2}$ si $|x|\geq 1$, fonction qui est bien intégrable au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$. On considère la variable aléatoire $Y=\ln(1+|X|)$ et on note $G$ sa fonction de répartition. Or, $$\int_0^1 f(x)dx=c\left[-\frac{(1-x)^5}{5}\right]_0^1=\frac c5.$$ \end{array}\right. En conclusion, on a \end{eqnarray*}. normales. 1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par : Sous réserve d'existence, on appelle espérance de la variable aléatoire X conditionnée par l'événement A et on note E()X A le réel défini par : ( ) kx() E(X )kp [Xk] AA ˛W = å = . $$x\mapsto f(x)\ln\frac{\varphi(x)}{f(x)}$$ $$Y\leq t\iff -\sqrt t\leq X\leq \sqrt t\iff -\sqrt t\leq X\leq 0$$ On en déduit que $F_X(x)=0$ si $x\leq 0$. On définit une variable aléatoire $Y$ par : \begin{eqnarray*} Donc $X$ n'admet pas d'espérance. On a donc Déterminer $a$ pour que $f$ soit une densité de probabilité. Si $t\leq -1$, on a Mesures de probabilité et Up: Probabilités continues Previous: Variables aléatoires réelles à Contents Vecteurs aléatoires à densité Nous aimerions associer, quand c'est possible, une densité à un tel vecteur aléatoire. On note $F_X$ la fonction de répartition de $X$. $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx\ .$$. Remarquons que $f_3$ est de la forme $u'/u^2$ avec $u(x)=e^x+1$. Soient pet qdeux réels compris entre 0 et 1. Téléchargez des graphiques Concertation Abordable et rechercher parmi des images et vecteurs libres de droits. 0&\textrm{ sinon} $$F_X(t)=\int_1^t\frac{1}{2x\sqrt x}dx=\left[\frac{-1}{\sqrt x}\right]_1^t=1-\frac1{\sqrt t}.$$. 2. Soient $m,\sigma$ deux réels. $$Y\hookrightarrow \mathcal{U}(]-1,1[).$$. La vérification est immédiate. Si $x>1$, on a : $$h(Y)=\int_{\mathbb R}f(x)\ln\frac{\varphi(x)}{f(x)}dx-\int_{\mathbb R}f(x)\ln\varphi(x)dx.$$, En déduire que $h(Y)\leq \frac 12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$. . $$f_3(-x)=\frac{\exp(-x)}{\big(\exp(-x)+1\big)^2}=\frac{\exp(-x)}{\exp(-2x)\big(1+\exp(x)\big)^2}=\frac{\exp(x)}{\big(\exp(x)+1\big)^2}.$$ 1 Exercices Exercice 1 (Modele de translation et d’` ´echelle) . pour que la probabilité d'épuiser ce réservoir soit inférieure à $10^{-5}$? Finalement, si $t\geq 1$, on a $F_{X_4}(t)=1$. Soit $X$ une variable aléatoire positive admettant une densité $f$. De plus, l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|x|e^x}{(e^x+1)^2}dx$ est convergente. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme $\mathcal U([0,1])$. \textbf{1. Soit $\varepsilon$ une variable aléatoire qui vaut 1 si la pièce tombe sur pile et -1 si la pièce tombe sur face. La masse volumique d’une substance correspond à la masse de cette substance dans une unité de volume. A la lumière de ces deux méthodes, quel commentaire peut-on faire concernant l'espérance de la longueur d'une corde aléatoire ? La fonction de répartition $F_{X_3}$ de cette variable aléatoire est donnée par \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} Calculer la fonction de répartition de $T$. Si $X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante (si elle existe) Ceci tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty$. $$f(x)=ce^{-|x|}.$$. Pour calculer $\varphi^{-1}$, il faut résoudre l'équation suivante : $$h(X)=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\ln f(x)dx.$$, Exercices de dénombrement - probabilités - statistiques, Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx$ converge et vaut 1. Onvas’intéresseràlaloiP Z d’uncoupledev.a.r.Z= (X,Y).Onpourraitpenserque D'autre part, puisque $f_4$ est nulle en dehors de $[-1,1]$, $X_4$ admet une espérance (il n'y a pas de problème de convergence d'intégrale). Au voisinage de $+\infty$, on a : Montrer que $f$ est une densité de probabilité. $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi2\ .$$, La valeur moyenne de la fonction $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ sur l'intervalle $[-1,1]$ vaut donc On calcule l'intégrale en séparant $\mathbb R_+$ et &\quad\quad& $$h(X)=\frac 12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$$, On souhaite prouver que, parmi les variables aléatoires de variance donnée, les lois normales sont celles Loid’uncouplealéatoire. Si le tirage amène pile, la corde choisie a sa longueur qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$, donc sa longueur moyenne est 1. Déterminer la fonction de répartition de $X$. &=&\frac{1}{1+\exp\left(-\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)}\\ On supposera dans la suite que la fonction $$f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}.$$. devrait pouvoir s'écrire comme une intégrale multiple de sur . {\bf Deuxième méthode.} \textbf{4. qui admettent une entropie maximale. Par composition, la fonction $G$ est dérivable partout sauf (éventuellement) en $0$. P(Y\leq x)&=&P(\varphi(X)\leq x)=P(X\leq\varphi^{-1}(x))\\ Ainsi, si $t<0$, on a $G(t)=0$. Si les composantes (X 1,...,X d) de X sont des v.a.r. 31 juil. $$E(L_3)=\frac 12\times 1+\frac 12\times 1=1.$$ \begin{array}{ll} Donner une expression de la densité pour $x>1$. suivante, permet d'étendre la relation (2.2.7) à des Ainsi, $\int_{-1}^1 f_4(x)dx=1$ et $f_4$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X_4$. Il suffit de dériver, et on trouve Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{a}{x\sqrt x}$ si $x\geq 1$ et $f(x)=0$ sinon. De plus, puisque $f_1$ est non-nulle seulement sur l'intervalle $[0,\pi/2]$, $X_1$ admet une espérance donnée par Déterminer la densité de la loi de T. 3. Remarquons que les sont évidemment les densités marginales $X_5$ admet une espérance. Pour $t>0$, par composition, 2. 2019 - Découvrez le tableau "Logo dentaire" de Hamid Ghazi sur Pinterest. par. En outre, toujours par imparité de $x\mapsto xf(x)$, l'espérance est nulle! En déduire la valeur moyenne de la fonction $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ sur l'intervalle $[-1,1]$, puis l'espérance de $L_1$. On vient de prouver que si $t<0$, on a $F_T(t)=0$. On reconnait la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Exo7 Fonctions de plusieurs variables Exercices de Jean-Louis Rouget. On détermine la densité de $Y$ en dérivant cette fonction de répartition. $$f(x)=\left\{ Montrer que $\varphi$ réalise une bijection de $\mtr$ sur $]-1,1[$, et déterminer sa bijection réciproque. Pour la première intégrale, utiliser la question 1. Voici pour terminer une autre propriété remarquable des densités Calculer le cas échéant leur fonction de répartition et préciser si elles admettent une espérance. Mais on a affaire à une intégrale de Riemann divergence en $+\infty$. Exercice 1.1 (Notions de bases) 1. Exercice 3 Soient X et Y des variables al´eatoires de loi absolument continue et de fonction de densit´e jointe f(X,Y )(x,y). et $\int_{-\infty}^0 |x|e^x dx$ converge (par comparaison à $1/x^2$ par exemple, ou par calcul en effectuant une intégration par parties). Calculer la longueur $L_1$ de la corde en fonction de $X$. L'espérance de $L_3$ vaut donc }f_3(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\ x\in\mathbb R Pour l'instant il suffira de savoir que \end{array}\right.\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{1}{2(1+|x|)^2}$. $$E[L_3]=E[U]=\int_0^2u\,\frac{du}2=1\ .$$ $$-\int_{\mathbb R}f(x)\ln\varphi(x)dx=\frac{\ln 2\pi\sigma^2}{2}\int_{\mathbb R}f(x)dx+\frac1{2\sigma^2}\int_{\mathbb R}x^2f(x)dx=\frac12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$$. $X$ admet-elle une espérance? Pour $t<0$, on a La fonction $f$ est une densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ si et seulement si $\int_{1}^{+\infty}f(x)dx=1$. \end{eqnarray*} $Y$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$, et on a : $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-a\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=a\pi.$$ Pour $x>0$, on a que $E(X^{2p})=I_p$. En effet, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$Y\leq t\iff X^2\leq t.$$ &=&\frac{e^t}{(1+e^t-1)^2}\\ Après changement de variables $u=y-1$, on reconnait $\int_{\mathbb R}e^{-u^2/2}$ qui vaut $\sqrt{2\pi}$. Si $X$ suit une loi uniforme sur $[a,b]$, alors on a Ainsi, $f_2$ n'est pas la densité de probabilité d'une variable aléatoire. Si $x\geq 0$, on a : Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y$. probabilité que appartienne à un sous-ensemble En effet, au voisinage de $+\infty$, on a $$F_{X_4}(t)=\int_{-1}^0 f_4(x)dx+\int_0^t (1-x)dt=\frac 12+t-\frac{t^2}2.$$ On supposera dans la suite $m=0$ et $\sigma=1$. J'ai pu montrer que suit une loi gamma de paramètre . Si oui, la déterminer. Exercice Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de densité f qui ne s'annule pas sur un intervalle réel I et admettant une espérance.. Montrer que la fonction g: m ↦ ∫ −∞ m t f(t) dt est bien définie, continue et dérivable sur R et préciser ses variations et limites à l'infini. $X=e^Y$ ne prend ses valeurs que dans $[0,+\infty[$. La seconde se calcule, exactement comme à la question 3. Vérifier que La variable aléatoire $X$ admet une espérance si la fonction $x\mapsto xf(x)$ est intégrable. Rappeler la dé nition d'espace probabilisé, de ariablev (ou vecteur) aléatoire, de loi d'une ariablev aléatoire, d'espérance d'une ariablev intégrable. C'est-à-dire que la Ainsi, $f$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ si et seulement si $a=\frac 1{\pi}$. &=&\left[xe^x\right]_0^{+\infty}-\int_{-\infty}^0 e^xdx\\ Ce r´esultat se g´en´eralise bien entendu au cas d’un vecteur al´eatoire X = (X 1,...,X n). Donc : Remarquons d'abord que $X$ est à valeurs dans $[0,1]$, $1-X$ est à valeurs dans $[0,1]$, donc $\ln(1-X)$ est à valeurs dans $]-\infty,0]$, et $T$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$. vecteur aléatoire Zde R2 sera décrit dans la suite par son abscisse Xet son ordonnée Y i.e.Z= (X,Y).Onutiliseaussileterme«couplealéatoire»pourunvecteuraléatoirede dimension2. $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=\pi\neq 1.$$ Supposons que pour une fonction $$1-F(x)=P(X\geq x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt$$ Alors \begin{eqnarray*} Feuille d’exercices 1. Soit X vecteur gaussien de moyenne m et covariance K ... Soit Z ∈Rn une variable aléatoire à densité. Soit $t\in\mathbb R$. Exprimer $G$ en fonction de $F$. $$F_X(t)=\int_{-\infty}^t \frac{1}{\pi(1+x^2)}dx=\frac 1\pi\left[\arctan(x)\right]_{-\infty}^t=\frac1\pi\arctan(t)+\frac 12.$$ On vérifie d'abord que les fonctions données sont continues sauf en un nombre fini de points et positives sur $\mathbb R$. Exercice 1 - Densité ou non? On fait tendre $a$ vers $-\infty$ et $b$ vers $+\infty$. comprenant en particulier les ouverts et les fermés de , ainsi que Ainsi, $Y$ admet une densité $g$ égale à $G'$. Calculer le cas échéant leur fonction de répartition et préciser si elles admettent une espérance. On reconnait la densité d'une loi exponentielle de paramètre $1$. La relation (2.2.13) implique immédiatement Réciproquement, si g est presque partout égale à une densité de probabilité de alors g est une densité de probabilité de Ainsi une variable aléatoire à densité possède-t-elle toujours une infinité de densités de probabilité : par exemple, en perturbant l'une des densités de de manière arbitraire en un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) fini de points, on obtient encore une densité … On cherche ensuite la fonction de répartition $F_T$ de $T$. $$E(X)=\int_0^{+\infty}\big(1-F(x)\big)dx.$$. 3.a) Trouver la loi du vecteur aléatoire (Xi X2 X). La première intégrale se traite à l'aide du résultat de la première question. Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ ayant $f$ pour densité. Au vu de la façon dont est tirée au hasard la corde, sa longueur $L_3$ vérifie l'égalité en loi : $$F_Y(x)=1-\frac{1}{2}3^{-\frac{\ln x}{\ln 3}}=1-\frac{1}{2x}.$$ $$\int_{-\infty}^0 3^xdx=\frac{1}{\ln 3}.$$ $$L_3=1\!\!1_{\{\varepsilon=1\}}U+1\!\!1_{\{\varepsilon=-1\}}U=U\ .$$ $$\int_0^1 f(x)dx=1.$$ Remarque : si $X$ désigne l'absisse du point $M$, on a $X=\varepsilon\sqrt{1-(U/2)^2}$. En $+\infty$ ou $-\infty$, $f$ est équivalente à $\frac1{x^2}$ qui est une intégrale de Riemann convergente en l'infini. En particulier, pour $x>1$, la densité de $Y$ est : Les moments Il reste à voir que l'intégrale de $f$ sur $\mathbb R$ vaut $1$. \begin{array}{ll} On en déduit que Soit Z ˘(Z1,Z2)0 le vecteur aléatoire défini par Z ˘ µ X X ¯Y ¶ ˘ µ 1 0 1 1 ¶µ X Y ¶. \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Autrement dit, on cherche $x$ le plus petit possible tel que $F_X(x)>1-10^{-5}$. Ceci entraîne (par un résultat du cours, ou tout simplement en effectuant le changement de variables $u=-x$ dans l'intégrale) que $E(X_3)=0$. On note $\varphi$ la densité de $\mathcal N(0,\sigma^2)$. Donc dorénavant, nous allons supposer que la loi du vecteur aléatoire grand X, hein, maintenant grand X est un vecteur, admet une densité, donc ça va être une fonction petit f positive intégrable sur R puissance n et qui va être d'intégrale 1. Calculer la dérivée de $\varphi$, étudier son signe, et appliquer un théorème du cours. Moments pair à déterminer par récurrence. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Notons $X_1$ une variable aléatoire de densité $f_1$. Son unique objectif´ est de vous faire jouer entre differentes fac¸ons de sp´ ecifier les mod´ eles statistiques. D'autre part, si $t\geq 0$, on a g(t)&=&G'(t)\\ $$F_{X_4}(t)=\int_{-1}^t (1+x)dx=\frac 12+t+\frac{t^2}2.$$ $$\int_{\mathbb R}f(x)dx=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2(1+x)^2}dx=\left[\frac{-1}{1+x}\right]_0^1=1.$$. Calculer la longueur $L_2$ de la corde en fonction de $T$. Démontrer que On a $$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}dx=\left[\frac{-1}{2x^2}\right]_1^{+\infty}=\frac{1}2.$$ 4. les Boréliens sont une classe de sous-ensembles de , , l'intégrale. \textbf{5. &=&e^tF'(e^t-1)+e^t F'(1-e^t)\\ On note $F$ sa fonction de répartition (qu'on ne demande pas de calculer). 1-x&\textrm{ si }x\in [0,1]\\ $$\varphi^{-1}(y)=\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right).$$, $Y$ prend ses valeurs dans $]-1,1[$, et, pour tout $x$ de $]-1,1[$ : \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Par la formule de transfert, l'espérance de $L_1$ vaut Pour l'espérance, on pourra étudier la parité. $$F_Y(t)=P(-\sqrt t\leq X\leq 0)=1-P(X<-\sqrt t)=1-F_X(\sqrt t)=1-e^{-\sqrt t}.$$ $$\int_a^b f(t)dt=\frac{1}{1+e^{-b}}-\frac{1}{1+e^{-a}}.$$ On suppose que $X\sim \mathcal N(m,\sigma^2)$. Par parité de cette fonction, on a Regarder d'abord où $Y$ prend ses valeurs, puis calculer la fonction de répartition en utilisant la bijection réciproque et la loi de $X$! \textbf{2. $$F_{X_3}(t)=\int_{-\infty}^t \frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=1-\frac{1}{e^t+1}.$$ AlorsP(Z ∈H) = 0. $f(x)=e^x$ si $x<0$ et $0$ sinon. Mais La loi de X est appelée loi de Cauchy de paramètre a. Véri er que f est bien une densité. &=&P\big(X\leq 1-\exp(-\lambda t)\big), \end{array}\right. &=&P\left(X\leq \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)\\ fonction qui n'est pas intégrable. à un tel vecteur aléatoire. événements plus généraux. Montrer que l'intégrale définissant l'espérance est divergente au voisinage de $+\infty$. Il y a derrière cette question un problème de modélisation. Quelle doit être la capacité du réservoir d'essence $$, Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb R$, déterminer lesquelles sont la densité d'une variable aléatoire à densité. Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer. $f$ est une fonction continue par morceaux et positive. L'integrale $\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ correspondant à l'aire sous la courbe, cette intégrale vaut l'aire d'un demi disque de rayon 1. Remarquons d'abord que $Y$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$. De même, au voisinage de $+\infty$, On considère une variable aléatoire $X$ dont la densité est donnée par de variables aléatoires gaussiennes, c'est-à-dire suivant des lois S'il s’agit donc du rapport de la masse (m) de la substance par son volume (V, ici en m 3 et non en L). $Y$ admet-elle une espérance? Soit $\varphi$ la fonction de $\mtr$ dans $\mtr$ définie par : On considère le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, Calculer l'intégrale. Si $t\in [0,1]$, on a et donc Démontrer que, pour tout $x>0$, $\ln x\leq x-1$. telle que pour tout Lorsque l’on connaît la fonction de répartition de la variable pour montrer que admet une densité, on montre que est continue sur de … Rappeler le théorème de transfert. Le demi-cercle $\overset{\frown}{BDA}$ est le graphe de la fonction $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur l'intervalle $[-1,1]$. On a $\int_0^1 (1-x)dx=\frac 12$ et $\int_{-1}^0 (1+x)dx=\frac 12$. et pour les mêmes raisons, $\int_0^{+\infty}|x|e^{-x}dx$ converge. Quelle est l'espérance de la longueur $L_3$ de la corde ainsi tirée au hasard ? On appelle $T$ une mesure de l'angle orienté $\widehat{BOM}$ et on fait l'hypothèse que $T$ suit une loi uniforme sur $[0,\pi]$. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} }f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} $X$ est à valeurs dans $]-\infty,0]$, donc $F_X(t)=1$ si $t\geq 0$. On a $Y\leq t\iff 2X+1\leq t\iff X\leq (t-1)/2.$ Maintenant, pour $\lambda,t\geq 0$, $1-\exp(-\lambda t)\in [0,1]$, et donc, utilisant la fonction de répartition d'une loi uniforme, On en déduit immédiatement que $I_p=(2p)!I_0$, et il est aisé de voir que $I_0=1$. Ainsi, $f_5$ est bien la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X_5$. Trouve-t-on le même résultat dans la question 1 et dans la question 2? ρ = m/Vm Enfin, si $t\geq 1$, on a et donc pour tout $y\in]-1,1[$, on a : Ainsi, Donc $f$ est une densité de probabilité si et seulement si $a=1/2$. Exercice 2.2 1.Soit f densité sur Rd et G l’hypographe : G = f(x,y) 2Rd R 0 y f(x)g On pose M de coordonnée (Z,Y) de loi uniforme sur G. Montrer qu’alors la loi du vecteur Ainsi, pour $t<1$, on a $f(t)=\frac 12e^{(t-1)/2}$ et pour $t\geq 1$, $f(t)=0$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{a}{1+x^2}$. On en déduit : si $0\leq x\leq 1$, On cherche alors $x$ tel que la probabilité de consommer plus de x milliers de litre dans la semaine \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} $$xf(x)\sim\frac{1}{2x},$$ 4. On considère que la corde aléatoire est déterminée par son milieu $H$ qui appartient au diamètre $[AB]$. Attention à la position par rapport à $1$. $$xf(x)\sim_{+\infty}\frac{1}{\pi x}$$ Moments impairs sont nuls. Plutôt que d'utiliser la densité, on va utiliser le théorème de transfert et écrire Attention, les composantes d’un vecteur gaussien sont gaussiennes mais la réciproque est fausse. On définit pour tout k e [1, 3]], la variable aléatoire Yk par : Yk Calculer les espérances des variables aléatoires Yk et (Yk) . Une preuve facile utilise le théorème de Fubini : on commence par remarquer que alors X est appelée v.a.r. \begin{array}{ll} Exercice 1.2 (Un exemple simple : lancer de dés) 1. Ecrire $(Y\leq x)\iff (X\leq \dots)$. Ainsi, si $t<0$, on a $F_Y(t)=0$. Le vecteur aléatoire Z a alors pour densité f. Les questions suivantes permettent d’établir la validité de la méthode du rejet générale. $$E[L_1]=2\times E\left[\sqrt{1-X^2}\right]=2\times\frac12\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi2\approx 1,57\ .$$, Par la formule de transfert, Z et T sont-elles indépendantes? Etudier les variations de $\varphi$. On calcule cette espérance par une intégration par parties. \begin{eqnarray*} On en déduit que $G(t)=F(e^t-1)-F(1-e^t)$. Elle est donc la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ si $\lim_{x\to-\infty}\int_x^0 f(t)dt=1$. Calculer une masse volumique. $$\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dt$$ b) En déduire la loi du vecteur aléatoire (Xi X2 X3). On a $\int_0^x f_6(t)dt=x-\cos(x)+1$. &=&P\left(\ln(1-X)\geq -\lambda t\right)\\ On s'intéresse à la longueur d'une corde de ce cercle perpendiculaire à la droite $(AB)$ lorsque cette corde est choisie "au hasard". 1) Déterminer la loi de U= X+ Y+ Z. Cet exercice est ´el ementaire. $\mathcal N(m,\sigma^2)$. Densité d’une variable aléatoire continue; Fonction de répartition d’une v.a.c; Fonction d’une variable aléatoire continue. est une variable aléatoire $X$ de densité $f(x)=c(1-x)^4\mathbf 1_{[0,1]}$. $$y=\frac{e^x-1}{e^x+1}\iff e^x=\frac{1+y}{1-y},$$ Calculer son intégrale (on pourra remarquer que $f$ est donnée sous la forme $u'/u^2$). Donc $T$ suit une loi $\mathcal E(\lambda)$. vecteurs aléatoires on note la variable aléatoire comptant le Si le tirage amène face, la corde choisie a sa longueur qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$, donc sa longueur moyenne est 1. Utilisant les limites de l'exponentielle en $+\infty$ et $-\infty$, on en déduit que Soit X une variable aléatoire de densité donnée par f(t) = (1 2 t + 1 2 si 1 t 1, 0 sinon. La fonction $f$ est continue sur $\mtr$, positive si $a\geq 0$, et on a : }f_2(x)=\frac{1}{1+x^2},\ x\in\mathbb R\\ Le théorème suivant, sur lequel nous reviendrons dans la section $$F(x)=F(0)+\frac{\ln 3}2\int_0^xe^{-t\ln 3}dt=\frac 12-\left(\frac{3^{-x}}{2}-\frac 12\right)=1-\frac{3^{-x}}{2}.$$ de E(X)&=&\int_{-\infty}^0 xe^xdx\\ On en déduit que $Y$ admet une densité donnée, pour $t\neq 1$, par $f(t)=F_Y'(t)$. Les deux méthodes proposées nous indiquent seulement que le résultat dépend évidemment de la modélisation utilisée. Notons $F_X$ la fonction de répartition. lorsque $x\to-\infty$. On va commencer par chercher la fonction de répartition $F_X(x)$ de $X$. Une variable aléatoire discrète part de l univers et va vers les réels et prend un nb fini de valeurs. &=&\frac{\ln(2\pi\sigma^2)}{2}+\frac1{2\sigma^2}E\big((X-E(X))^2\big)\\ Ceci est équivalent à $$f_Y(x)=F_Y'(x)=\frac{1}{2x^2}.$$ La fonction $f$ est positive et continue par morceaux. $f$ doit être une densité de probabilité, et donc on doit avoir &=&\frac{x+1}{2}. \textbf{3. $$Y=\varphi(X)=\frac{e^X-1}{e^X+1}.$$ Ainsi, $F_Y(t)=F_X\big((t-1)/2\big)=e^{(t-1)/2}$ si $t\leq 1$, et $F_Y(t)=1$ si $t>1$. C'est très classique. \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} et on conclut par comparaison à une intégrale de Riemann divergente. On a $$\varphi(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}.$$ $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} h(X)&=&-\int_{\mathbb R}\frac{e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\sigma}\ln\left(\frac{e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)dx\\ $$E(X)=E(e^Y)=\int_{\mathbb R}e^y\frac{e^{-y^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dy=\sqrt e\int_{\mathbb R}\frac{e^{-(y-1)^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dy.$$ Calculer l'entropie d'une variable aléatoire uniforme. † Une variable aléatoire réelle X est dite gaussiennes'il existe („; ... Un vecteur aléatoire X à valeurs dans Rd est dit gaussien si toute combinaison linéaire de ses ... X admet une densité f par rapport à la mesure de Lebesgue sur Rd si et seulement si det(§) 6= 0. Faisant tendre $b$ vers $+\infty$ et $a$ vers $-\infty$, on trouve que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} On a, pour tout $n\geq 1$, $x^ne^{-|x|}=o(x^{-2})$ en $\pm \infty$, ce qui prouve la convergence de l'intégrale. Pour la fonction de répartition, séparer les cas $x<0$ et $x\geq 0$. Supposons maintenant $t\geq 0$. Utiliser le théorème de transfert plutôt que la densité. Par des considérations d'aires et sans chercher à trouver une primitive, calculer $Y$ n'admet pas d'espérance. Par imparité de la fonction $x\mapsto x^n e^{-|x|}$ si $n$ est impair, les moments d'ordre impair sont nuls. $$E(X_1)=\int_0^{\pi/2}x\cos(x)dx=\frac 12(\pi -2)$$ $$\int_{\mathbb R}f(x)\ln\frac{\varphi(x)}{f(x)}dx\leq \int_{\mathbb R}f(x)\left(\frac{\varphi(x)}{f(x)}-1\right)dx=\int_{\mathbb R}\big(\varphi(x)-f(x)\big)dx=0.$$ On a donc $c=5$. &=&\frac{\ln(2\pi\sigma^2)}{2}\int_{\mathbb R}\frac{e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi\sigma}}dx+\frac1{2\sigma^2}\int_{\mathbb R}(x-m)^2\frac{e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\sigma}dx\\ Nous aimerions associer, quand c'est possible, une densité La densité conjointe des variables gaussiennes indépendantes est donnée \end{array}\right.$$. $$\int_1^{+\infty}f(x)dx=\left[\frac{-2a}{\sqrt x}\right]_1^{+\infty}=2a.$$ En effet, soit X= (Y;"Y) un vecteur aléatoire de R2 tel que Y et "sont deux variables aléatoires réelles indépendantesavecY ˘N(0;1) et"suituneloideRademacherc’est-à-direP("= 1) = … Remarquons que Dans ce cas, la fonction de répartition de $X$ est donnée par Définition. Tout le problème est de savoir ce que veut dire l'expression ``tirer une corde au hasard''. (intégrale qu'on peut calculer à l'aide d'une intégration par parties). Soit H un sous-espace vectoriel de Rn, tel que dim(H)