exercice corrigé de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonction_concave&oldid=177438608, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, que toute fonction concave et dérivable (sur un intervalle réel) est de. On en déduit d'une part que est strictement positif, d'autre part que est une bijection de dans .La relation montre que la fonction réciproque de est la fonction qui à associe .Cette fonction est donc strictement croissante et … Le taux d'évolution est donc t= 33000−45000 45000 ≈–0,27 , soit une baisse de 27 % environ. @ OJ QJ ha? Calculer la fonction d´eriv´ee de f et ´etudier son signe. Soit f la fonction définie sur IR par f ()xx=+(2)ex Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F, définie sur IR, par F()xa=+(xb)ex soit une primitive de f. Exercice n°17. Rem. Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. Quelle est la nature de la courbe obtenue�? ��ࡱ� > �� R T ���� O P Q ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ q` �� � bjbjqPqP 4� : : � E �� �� �� � $ $ $ $ � � � � �6 �6 �6 �6 � �7 � � (a F 8 ( H8 H8 H8 H8 ; ; ; ;` =` =` =` =` =` =` $ nc h �e a` � � ; �: | ; ; ; a` $ $ H8 H8 ? 6. et préparateur de concours pour la fonction publique Coordonné par Pierre-Brice Lebrun Formateur dans plusieurs délégations du CNFPT, examinateur et correcteur au CNFPT Île-de-France 700 tests psychotechniques et de raisonnement logique 5e édition FONCTION PUBLIQUE Méthode et exercices 9782311205671_001 … On désigne ici par fonction un attribut essentiel, soit solidaire de la nature d'un être (I A) soit reconnu par convention à une institution ou à un élément (I B). Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en ... 5 Dérivée d’une fonction69 ... Exercice 1. Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple : Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ℝ+* : De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. 5. @ mH sH ha? Dresser le tableau de variation de f. 7. Exercice 5�: L�entreprise RAVEL fabrique des appareils � cire. @ 5�6�mH sH ha? Dans cette acception I, le terme fonction, se différencie du terme rôle qui implique un emprunt, une activité d'ordre mécanique. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp o u qui à x associe eu (x) est dérivable sur I, et on a : (exp o u)' = u' x exp o u ou encore (eu)' = u' x eu Exercice 10 (voir réponses et correction) Justifier que chacune des fonctions est dérivable sur IR , calculer la dérivée et étudier le signe de cette dérivée. Pour calculer ∫ b a f x ( ). Z � j � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � & $d %d &d. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe si : . Le nombre d�appareils fabriqu�s par jour est n. Le co�t de fabrication, en euros, de ces n appareils est donn� par la relation�: C (n ) = n�+ 160n +800 avec 5 d" n d" 6 0 1 � - Q u e l e s t l e c o � t d e f a b r i c a t i o n d e 5 0 a p p a r e i l s � ? C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave Â». Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. x quels que soient deux points A et B du graphe de la fonction, le segment [AB] est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes, ou; l'épigraphe de la fonction … B ( x ) = V (x ) - C ( x ) = 16 x � ( x� - 24 x + 225 ) = 16 x - x� +24 x - 225 = � x� + 40 x - 225 Le b�n�fice est maximum pour 20 objets fabriqu�s, il s� � l � v e � 1 7 5 � . Exercice 1. • Pour tous réels k et a , il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur IR, telle que f ' = kf et f(0) = a. Cette fonction f est définie par : f(x) = a × exp (kx ) pour tout x ∈ IR . dx = F(b) – F(a). Définition — une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. Exercice 5. Cours sur la dérivée et dérivation d’une fonction : cours de maths en terminale S Bissectrice d’un angle : exercices Maths 6ème corrigés Calculs sur les fractions : correction des exercices en quatrième @ OJ QJ h�� OJ QJ ha? Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. 4 � - E x p r i m e z l e r � s u l t a t b � n � f i c i a i r e B ( x ) e n f o n c t i o n d e x ( O n r a p p e l le que le b�n�fice B est obtenu en soustrayant le co�t de fabrication C � la recette V).Pour quelle valeur de x le b�n�fice est-il maximum�? @ OJ QJ mH sH h�*� ha? R e p r � s e n t e r g r a p h i q u e m e n t V ( x ) . Dans cette acception I, le terme fonction, se différencie du terme rôle qui implique un emprunt, une activité d'ordre mécanique. ... Dérivée de exp(u) Pour cela, calculer la dérivée seconde si … soit . V ( x ) = 1 6 x . 2. Calculer la dérivée et chercher ses zéros. Calculer la valeur de B correspondante et placer dans le rep�re le point de coordonn�es (nm�; B (nm ) ). Remarques : • Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. Comparaison entre ln(x) et x en 0 ... Dérivée de ln(u) O n d � s i g n e p a r V ( x ) l e m o n t a n t c o r r e s p o n d a n t � l a v e n t e d e x a r t i c l e s . Calculez-le. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction (𝑥)=1 √𝑥 entre 16 et 17 avec un reste à l’ordre 2. f est concave si et seulement si sa dérivée seconde f '' est à valeurs négatives ou nulles. Le taux d'évolution est donc t= 33000−45000 45000 ≈–0,27 , soit une baisse de 27 % environ. �` �@ �@ �@ ; $ H8 � H8 ;` �@ ; ;` �@ �@ �\ � * � � �^ H8 8 ��L��� �6 = � �] _ $ �` 0 (a �] � g �? ... Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3. Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. @ CJ OJ QJ aJ "h.] ha? La fonction valeur absolue. Comparaison entre ln(x) et x en 0 ... Dérivée … y Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. E x p r i m e r V ( x ) e n f o n c t i o n d e x . • Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. 2� - Etudiez et repr�sentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1�; 25 ] . Title: Exercices : Dérivée d’une fonction Author: Laurence Last modified by: Laurence Created Date: 9/20/2006 2:32:00 PM Other titles: Exercices : Dérivée d’une fonction On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). Cette fonction est notée exp et appelée fonction exponentielle . Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en ... 5 Dérivée d’une fonction69 ... Exercice 1. @ 5�>*CJ OJ QJ \�aJ ha? Pour quelle valeur de x le b�n�fice est-il maximum�? En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« … E x e r c i c e 6 � : 1 � - C o � t d e f a b r i c a t i o n d e 5 0 a p p a r e i l s � : C ( 5 0 ) = 5 0 � + 1 6 0 x 5 0 + 8 0 0 = 2 5 0 0 + 8 0 0 0 + 8 0 0 = 1 1 3 0 0 2 � - L e b � n � f i c e B r � a l i s � p o u r l a v e n t e d e n a p p a r e i l s e s t d o n n � p a r B ( n ) = - n � + 9 0 n - 8 0 0 a R e c e t t e o b t e n # $ % 1 2 O n o q r u | } � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���̺����sk`k`k`k`ksk`k`k`k`kU ha? 4 � - E x p r i m e z l e r � s u l t a t b � n � f i c i a i r e B ( x ) e n f o n c t i on de x (on rappelle que le b�n�fice B est obtenu en soustrayant le co�t de fabrication C � la recette V). @ ha? h.] CJ OJ QJ aJ h.] h.] CJ OJ QJ aJ h.] ha? Exercice 5 : Chercher les modèles de Thévenin et de Norton des circuits suivants : Les batteries d’accumulateurs sont identiques … Que vaut alors P max? • Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. 2. f 2(x)=jtanxj+cosx. Ce théorème de Newton-Leibniz est aussi appelé théorème fondamental du calcul différentiel et Quelle est la nature de la courbe obtenue�? � g 4 �^ g � �^ t ; ; �@ ; ; ; ; ; a` a` s@ ; ; ; (a ; ; ; ; � � � � x) $ � � � x) � � � $ $ $ $ $ $ ���� Exercices�: D�riv�e d�une fonction �Exercice 1�: Calculez les d�riv�es des fonctions suivantes, d�finies sur (�: a � f ( x ) = 2x� - 7x + 9 b � f ( x ) = 3x� - 4x - 5 c � f ( x ) = 3 - 4x d � f ( x ) = EQ \s\do1(\f(1;4)) x � +4 x +3 � Exercice 2 : D�terminez l��quation de la tangente � la courbe ( C )repr�sentant la fonction f au point A d�abscisse xA dans les cas suivants�: a � f ( x ) = x� + 3x - 12 xA = 5 b � f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1 � Exercice 3 : Dressez le tableau des variations de la fonction suivante�: f ( x ) = 2x� - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ] Exercice 4�: Le co�t total de production d�un article varie en fonctions du nombre d�objets x fabriqu�s�suivant la formule�: C ( x ) = x� - 24 x + 225 .� 1� - Calculez�: C ( 1 )�; C ( 10 )�; C ( 15 )�; C ( 20 )�; C ( 25 ). Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction x ↦ –|x|. Identifier les minima, les maxima et les points d'inflexion à tangente horizontale. 3 � - L e s a r t i c l e s s o n t v e n d u s 1 6 � p i � c e . le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la concavité d'exemples spécifiques : La dernière modification de cette page a été faite le 9 décembre 2020 à 11:52. dx, il suffit de disposer d’une primitive de f, c’est-à-dire d’une fonction F dont la dérivée est f. Et alors ∫ b a f x ( ). R e p r � s e n t e r g r a p h i q u e m e n t V ( x ) . Calculez-le. ha? Exercice 01 Dressez le tableau de variations de la fonction B(x). Cette définition est équivalente à la définition suivante : Définition — Une fonction f d'un intervalle réel I vers ℝ est dite concave lorsque, pour tous x1 et x2 de I et tout t dans [0 ; 1] on a : Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Rem. 1. Exercice 5 : Chercher les modèles de Thévenin et de Norton des circuits suivants : Les batteries d’accumulateurs sont identiques (f.e.m. Déterminer sa fonction dérivée f ... Exercice n°16. soit . Tracer la courbe repr�sentant le b�n�fice B dans l�intervalle [5�; 60]. En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe.. Quel est ce b�n�fice maximum�? des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Que vaut alors P max? La courbe obtenue est une parabole. Allez à : Correction exercice 15 Exercice 6. ; Fixons .D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction est strictement croissante. �Exercice 1�: Calculez les d�riv�es des fonctions suivantes, d�finies sur (�: a � f �( x ) = 4x - 7 b � f �( x ) = 6x - 4 c � f �( x ) = - 4 d � f� ( x ) = EQ \s\do1(\f(1;2)) x +4 � Exercice 2 : D�terminez l��quation de la tangente � la courbe ( C )repr�sentant la fonction f au point A d�abscisse xA dans les cas suivants�: a � f ( x ) = x� + 3x - 12 xA = 5 Calculons f ( 5 ) = 5� + 3x5 - 12 = 25 + 15 � 12 = 28 Calculons la d�riv�e�: f� ( x ) = 2x + 3 soit�: f�( 5 ) = 2x5 + 3 = 13 �quation de la tangente�: y = ax + b soit y = 13x + b soit 28 = 13 x 5 + b Alors�: b = 28 � 65 = -37�; L��quation de la tangente est�: y = 13x - 37 b � f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1 �Calculons f ( 1 ) = 13 - 3x1 + 6 = 1 -3 +6 = 4 Calculons la d�riv�e�: f� ( x ) = 3x� - 3 soit�: f�( 1 ) = 3x1 - 3 = 0 �quation de la tangente�: y = ax + b soit y = 0x + b soit 4 = 0 x 1 + b Alors�: b = 4�; L��quation de la tangente est�: y = 0x + 4 soit y =4 Exercice 3 : Dressez le tableau des variations des fonctions suivantes�: a � f ( x ) = 2x� - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ] x -1 1,5 4f �( x ) - 0 +f ( x )13 13 0,5 Exercice 4�: Le co�t total de production d�un article varie en fonctions du nombre d�objets x fabriqu�s�suivant la formule�: C ( x ) = x� - 24 x + 225 .� 1� - Calculez�: C ( 1 )�; C ( 10 )�; C ( 15 )�; C ( 20 )�; C ( 25 ). Montrer que p 10 2=Q. 2 l’intégrale d’une fonction continue. Pr�ciser le nombre d�appareils � fabriquer pour obtenir le b�n�fice maximum. 2 � - L e b � n � f i c e B r � a l i s � p o u r l a v e n t e d e n a p p a r e i l s e s t d o n n � p a r B ( n ) = - n � + 9 0 n - 8 0 0 a S a c h a n t q u e l e b � n � f i c e B e s t o b t e n u e n s o u s t r a y a n t l e c o � t d e f a b r i c a t i o n C � l a r e c e t t e R , retrouver la recette obtenue pour la vente d�un appareil � cire. f 2 est dérivable sur Rnp 2Z en vertu de théorèmes généraux et pour x 2= p 2 Z, ... P est une fonction polynôme de degré 3 strictement croissante sur R et s’annule Chercher la concavité de la fonction et les points d'inflexion. ... Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3. Corrig´e Exercice n˚3: On donne la fonction f d´efinie par f(x) = 3 x2 +2x− 3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e. Exercice 1 Etude complète des fonctions suivantes 1. f 1(x)= 1+x 2 x3 (arctanx x 1+x2). b � Pour conna�tre le b�n�fice maximum�: Calculer B�(x) o� B� est la d�riv�e de la fonction B d�finie par�: B(x) = - x �+ 90 x - 800 sur I = [5�; 60] Calculer la valeur nm qui annule B�(x). @ 5�CJ OJ QJ \�aJ %h.] En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées ... une autre méthode est proposée en exercice.) Montrer que p 10 2=Q. Exercice 4 : Déterminer la puissance P consommée par R C (en fonction de E, R C et R) : Pour quelle valeur de R C la puissance consommée est-elle maximale ? Montrer que 31 128 est une valeur approchée de 1 √17 à 5×10−4 près. ... Dérivabilité et dérivée. O n d � s i g n e p a r V ( x ) l e m o n t a n t c o r r e s p o n d a n t � l a v e n t e d e x a r t i c l e s . ; Fixons .D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction est strictement croissante. D´eterminer le domaine de d´efinition Df de la fonction f. 2. @ OJ QJ eh @r� � @ # $ r � � � � � � � E Remarques : • Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. On désigne ici par fonction un attribut essentiel, soit solidaire de la nature d'un être (I A) soit reconnu par convention à une institution ou à un élément (I B). Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave Â» est moins naturelle. On déduit de la seconde caractérisation : Corollaire — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. 3� - L e s a r t i c l e s s o n t v e n d u s 1 6 � p i � c e . Tracer (Cf). Exercice sur le choix de la formule de trigonométrie à utiliser pour calculer une longueur dans un triangle rectangle. E x p r i m e r V ( x ) e n f o n c t i o n d e x . @ OJ QJ " j R�h.] Convergence uniforme Etudier la convergence uniforme des deux suites de fonctions définies sur [0,1]par : 1. Faire un tableau pour voir comment la fonction croît. Haut de page. Exercice 4 : Déterminer la puissance P consommée par R C (en fonction de E, R C et R) : Pour quelle valeur de R C la puissance consommée est-elle maximale ? La fonction valeur absolue, c’est-à-dire f(x) = |x|, n’est pas forcément à connaître, ce qu’il faut savoir c’est comment manipuler et calculer des valeurs absolues. des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. x 110152025C ( x )2028590145250 2� - Etudiez et repr�sentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1�; 25 ] . 1.